Oldjuk meg együtt a középszintű matematika érettségi feladatait!

Fogunk textílgyárban törölközőt gyártani -na nem azért, hogy bedobjuk az érettségin- hanem, hogy meghatározzuk, hogy négy kék, két sárga és egy piros törölköző közül mennyi annak a valószínűsége, hogy két törölköző sárga lesz. Meg fogjuk ismerni a női súlylökő olimpikonokat és ki fogjuk számolni Márton Anita hat dobásának átlagát és szórását, valamint, hogy igazán megdolgozzunk a jó matek érettségi jegyért, le fogjuk még burkolni a felsőoktatáshoz vezető utunkat ötszög alapú, egyenes hasábokkal.

A középszintű írásbeli vizsga két részből áll. Az első részben 12 db rövid feladat található, amelyek megoldására 45 perc áll rendelkezésetekre. A második, hosszabb részre 135 percetek van. Az A részből minden feladatot meg kell oldani, a B részben (16-18. feladatok) viszont a három feladat közül csak kettőt kell megoldani, és a nem választott feladat sorszámát írjátok a négyzetbe.

ELSŐ RÉSZ

1. Egy téglatest egy csúcsból kiinduló három élének hossza: 3 dm, 2 dm és 2,5 dm. Hány négyzetdeciméter a test felszíne?

2. Az alábbi ábra egy érettségiző évfolyam diákjainak a halmazát szemlélteti. A jelöli az angol nyelvből, B a biológiából, F pedig a fizikából érettségiző diákok halmazát. Színezze be az ábrának azt a részét, amely azon diákok halmazát jelöli, akik angol nyelvből és biológiából érettségiznek, de fizikából nem!

3. A 2 hányadik hatványával egyenlő az alábbi kifejezés?

((2⁷∙2³)⁴) / 2⁵

4. Egy nemzetközi konferencia 5 résztvevője áll egy asztal körül a kávészünetben (jelölje őket A, B, C, D, illetve E). Tudjuk, hogy A ismer mindenkit az asztalnál. B nem ismeri E-t, de a többieket ismeri. C két résztvevőt ismer, D pedig hármat. Ábrázolja az ötfős társaság tagjai közötti ismeretségeket egy gráffal, és adja meg, hogy kiket ismer az asztalnál az E-vel jelölt személy! (Minden ismeretség kölcsönös.)

5. Adja meg az alábbi állítások logikai értékét (igaz vagy hamis)!

A: Ha egy pozitív egész szám osztója 24-nek, akkor osztója 12-nek is.

B: Ha egy pozitív egész szám osztható 12-vel, akkor osztható 6-tal is.

C: Ha egy pozitív egész szám osztható 2-vel és 4-gyel, akkor osztható 8-cal is

6. Ábrázolja a [−1; 2] intervallumon értelmezett xà(x-1)² függvényt!

7. Egy több száz fős gimnázium diákjai életkorának eloszlását mutatja az alábbi kördiagram. Állapítsa meg a diákok életkorának terjedelmét, móduszát és mediánját!

8. Hány olyan egész szám van, amelynek az abszolút értéke kisebb 6-nál?

9. Tudjuk, hogy az 5/7=0,714285 végtelen szakaszos tizedes tört. Adja meg a tizedesvessző utáni századik számjegyet! Válaszát indokolja!

10. Egy háromszög 11 cm hosszú oldalával szemközti szöge 45°-os. Ennek a háromszögnek van egy 122°-os szöge is. Hány cm hosszú a háromszög 122°-os szögével szemközti oldala? Válaszát indokolja!

11. Egy mértani sorozat első tagja 1/2, második tagja 3. Határozza meg a sorozat harmadik tagját!

12. Egy szabályos dobókockával háromszor dobunk, majd a dobott számokat (a dobások sorrendjében) balról jobbra egymás mellé írjuk. Így egy háromjegyű számot kapunk. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a kapott háromjegyű szám 500-nál nagyobb lesz? Válaszát indokolja!

MÁSODIK RÉSZ

A második, hosszabb részre 135 percetek van. Az A részből minden feladatot meg kell oldani, a B részben (16-18. feladatok) viszont a három feladat közül csak kettőt kell megoldani, és a nem választott feladat sorszámát írjátok a négyzetbe.

13.a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán!

(x²-4x+4/x²-4)=2

Legyenek f, g és h függvények a valós számok halmazán értelmezve úgy, hogy f(x)=x-1, g(x)=2^x, h(x)=|x|-3.

b) Adja meg annak a függvénynek a betűjelét, amely a (–2)-höz (–1)-et rendel!

c) Töltse ki az alábbi táblázatot az „igaz” és „hamis” szavakkal annak megfelelően, hogy az adott kijelentés igaz vagy hamis az adott függvény esetén!

14. A 2016-os nyári olimpiai játékok női súlylökés versenyszámának döntője alapján készült az alábbi, hiányosan kitöltött táblázat, amely az első öt helyezett dobásainak hosszát mutatja. Egy adott versenyző eredménye az érvényes dobásai közül a legnagyobb. A táblázatban az × az érvénytelen dobást jelzi.

a) Töltse ki a táblázat tíz üres mezőjét!

b) Számítsa ki Márton Anita hat dobásának átlagát és szórását!

A súlylökés, mint versenyszám hivatalos leírásában ez szerepel: „A súlylökés a nőknél 4 kg-os, vasból vagy sárgarézből készült, gömb alakú, tömör fémgolyóval történik, melynek átmérője nagyobb, mint 9,5 cm, de kisebb, mint 11 cm.”

c) Hány centiméter a sárgarézből készülő 4 kg-os golyó átmérője, ha 1 cm³ sárgaréz tömege 8,73 gramm?

15. Egy textilgyár felmérést készített, hogy a vásárlói igényeknek megfelelő arányban gyárthassa le törölközőit. Megkérdeztek 500 járókelőt arról, hogy négy lehetséges szín közül melyik színben vásárolnának legszívesebben ilyen törölközőt. Az alábbi táblázatban látható a felmérés eredménye.

A gyár a válaszoknak megfelelő arányban határozta meg az egyes színekből készülő törölközők darabszámát.

a) Számítsa ki, hogy hány kék, sárga, piros, illetve zöld törölközőt gyártottak, ha összesen 10 000 darab készült! A darabszámokat százasokra kerekítve adja meg!

Négy kék, két sárga és egy piros törölköző közül (visszatevés nélkül) véletlenszerűen kiválasztunk kettőt.

b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy mindkét törölköző sárga lesz?

A textilgyárban dolgozók között tavaly háromszor annyi nő volt, mint férfi. Idén felvettek még 70 nőt és 6 férfit, így már négyszer annyi nő dolgozik a gyárban, mint férfi.

c) Hány nő és hány férfi dolgozója van a gyárnak idén?

A 16-18. feladatok közül tetszése szerint választott kettőt kell megoldani. A kihagyott feladat sorszámát írjátok be az üres négyzetbe.

16. Egy háromszög csúcsai a koordináta-rendszerben A(–8; –12), B(8; 0) és C(–1; 12). Az A pontnak a B pontra vonatkozó tükörképe a D pont.

a) Számítsa ki a D pont koordinátáit!

b) Írja fel az ABC háromszög B csúcsán áthaladó magasságvonalának egyenletét!

c) Igazolja, hogy az ABC háromszög B csúcsánál derékszög van!

Az A, B és C pontokat szeretnénk a kék, zöld és sárga színekkel színezni úgy, hogy mindhárom pontot színezzük valamelyik színnel, de egy színezésen belül nem használjuk fel mindhárom színt.

d) Hány különböző színezés lehetséges ezekkel a feltételekkel?

17. Egy erdészetben azt tervezték, hogy 30 nap alatt összesen 3000 fát ültetnek el úgy, hogy a második naptól kezdve minden nap 2-vel több fát ültetnek el, mint az azt megelőző napon.

a) Hány fát kellett elültetni az első napon, és hány fát kellett elültetni a 30. napon a terv teljesítéséhez?

A telepítés után egy évvel három szempontból vizsgálják meg a telepített fák állapotát. Ha valamelyik nem fejlődik megfelelően, akkor az N jelet kapja. Ha fertőző betegség tünetei mutatkoznak rajta, akkor a B jelet, ha pedig valamilyen fizikai kár érte (pl. a szél megrongálta), akkor az F jelet kapja. Egy fa több jelet is kaphat. Az összes jelölés elvégzése és összesítése után kiderült, hogy a telepített 3000 fa közül N jelet 45, B jelet 30, F jelet 20 fa kapott. Ezeken belül N és B jelet 21, N és F jelet 13, B és F jelet 4 fának adtak. 2 olyan fa van, amely mindhárom jelet megkapta.

b) Töltse ki az alábbi halmazábrát a megfelelő adatokkal! Állapítsa meg, hogy hány olyan fa van a telepítettek között, amelyik nem kapott semmilyen jelet!

Egy erdő faállománya az elmúlt időszakban évről évre 3%-kal növekedett. A faállomány most 10 000 m³.

c) Hány év múlva éri el az erdő faállománya a 16 000 m³ -t, ha az továbbra is évről évre 3%-kal növekszik?

18. Egy sétálóutca díszburkolatát ötszög alapú egyenes hasáb alakú kövekkel készítik el. (Az ábrán négy ilyen követ lehet látni a burkolaton megfigyelhető elrendezésben.) A kő alapját képező ABCDE ötszög tengelyesen szimmetrikus (egy, a D csúcson átmenő egyenesre), négy oldala 10 cm hosszú, három szöge 120°-os, az ábrának megfelelően.

a) Számítással igazolja, hogy az AED és a BCD háromszög derékszögű!

b) Számítsa ki az ABCDE ötszög területét!

Róbert egy járdaszakaszt egyedül 20 óra alatt burkolna le ezzel a kővel, Sándor ugyanazt a munkát egyedül 30 óra alatt végezné el.

c) Mennyi idő alatt végeznek, ha együtt dolgoznak?

Ezt a követ szürke és sárga színben árulják a kereskedésben. A dobozokon matrica jelzi a dobozban lévő kövek színét. Átlagosan minden századik dobozon rossz a matrica: szürke helyett sárga vagy fordítva. (Ezt tekinthetjük úgy, hogy 0,01 annak a valószínűsége, hogy rossz matrica került a dobozra.) Péter kiválaszt 21 szürke jelzésű dobozt, és ellenőrzi a dobozokban lévő kövek színét.

d) Mennyi a valószínűsége annak, hogy a 21 kiválasztott doboz közül legalább 20 dobozban valóban szürke kő van?