Pitagorasz tétel bizonyítása háromszögek hasonlósága alapján

Pitagorasz tétel bizonyítása emelt matematika érettségi

A Pitagorasz tételre szeretnénk egy új bizonyítást bemutatni Nektek, a háromszögek hasonlóságának segítségével.

Ha van egy derékszögű háromszögünk, amelynek C csúcsában van a derékszög, akkor a2+b2=c2, vagyis az átfogóra emelt négyzet területe megegyezik a befogókra emelt négyzetek területeinek az összegével.

A hasonlóságot a háromszögek esetében úgy használjuk, hogy két háromszög akkor hasonló, hogy ha a megfelelő szögeik megegyeznek. Két derékszögű háromszög pedig akkor hasonló, ha van azonos nagyságú hegyesszögük.

Húzzuk be a derékszögű háromszög C csúcsához tartozó magasságvonalat. A behúzott magasságvonal az A-B egyenest metssze a D pontban. Az eredeti háromszög oldalait jelöljük a, b, c-vel. A magasságvonal behúzásával kapott két háromszög területe legyen T1 és T2. Az eredeti háromszög területe (T) így: T= T1 + T2

Az A csúcsban lévő szöget jelöljük α-val, a B csúcsban lévő szöget pedig β-val. Ezeknek a szögeknek az összege 90°. Egyszerű szögszámítással megkapjuk, hogy a C csúcsnál lévő szögek nagysága megegyezik az α és β szögekkel, így teljesül az, hogy az ACD háromszög hasonló az ABC háromszöghöz, valamint a BCD háromszög is hasonló az eredeti ABC háromszöghöz. Ennek oka, hogy minkettő derékszögű, illetve van hasonló nagyságú hegyesszögük is.

Ha két háromszög hasonló, akkor a megfelelő oldalaik aránya is megegyezik, ezt hívják hasonlósági aránynak. Mivel az ACD háromszög és az ABC háromszög hasonló, ezért a területük aránya pontosan a hasonlósági aránynak a négyzete. Ugyanezt a gondolatmenetet felhasználjuk a másik háromszögek esetében is.

Ezt követően már csak fel kell használni, hogy a két derékszögű háromszög az együtt kiadja az eredeti háromszöget.

Ha ezt az egyenletet átrendezzük, megkapjuk a kívánt összefüggést:

c2=b2+a2

Megosztás itt: facebook
Megosztás Facebookon
Megosztás itt: whatsapp
Megosztás WhatsApp-on
Megosztás itt: email
Megosztás E-mailen

Vélemény, hozzászólás?

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Post comment