Pitagorasz tétel bizonyítása háromszögek hasonlósága alapján

A Pitagorasz tételre szeretnénk egy új bizonyítást bemutatni Nektek, a háromszögek hasonlóságának segítségével.
Ha van egy derékszögű háromszögünk, amelynek C csúcsában van a derékszög, akkor a2+b2=c2, vagyis az átfogóra emelt négyzet területe megegyezik a befogókra emelt négyzetek területeinek az összegével.
A hasonlóságot a háromszögek esetében úgy használjuk, hogy két háromszög akkor hasonló, hogy ha a megfelelő szögeik megegyeznek. Két derékszögű háromszög pedig akkor hasonló, ha van azonos nagyságú hegyesszögük.
Húzzuk be a derékszögű háromszög C csúcsához tartozó magasságvonalat. A behúzott magasságvonal az A-B egyenest metssze a D pontban. Az eredeti háromszög oldalait jelöljük a, b, c-vel. A magasságvonal behúzásával kapott két háromszög területe legyen T1 és T2. Az eredeti háromszög területe (T) így: T= T1 + T2
Az A csúcsban lévő szöget jelöljük α-val, a B csúcsban lévő szöget pedig β-val. Ezeknek a szögeknek az összege 90°. Egyszerű szögszámítással megkapjuk, hogy a C csúcsnál lévő szögek nagysága megegyezik az α és β szögekkel, így teljesül az, hogy az ACD háromszög hasonló az ABC háromszöghöz, valamint a BCD háromszög is hasonló az eredeti ABC háromszöghöz. Ennek oka, hogy minkettő derékszögű, illetve van hasonló nagyságú hegyesszögük is.
Ha két háromszög hasonló, akkor a megfelelő oldalaik aránya is megegyezik, ezt hívják hasonlósági aránynak. Mivel az ACD háromszög és az ABC háromszög hasonló, ezért a területük aránya pontosan a hasonlósági aránynak a négyzete. Ugyanezt a gondolatmenetet felhasználjuk a másik háromszögek esetében is.
Ezt követően már csak fel kell használni, hogy a két derékszögű háromszög az együtt kiadja az eredeti háromszöget.
Ha ezt az egyenletet átrendezzük, megkapjuk a kívánt összefüggést:
c2=b2+a2
Vedd meg online!
Érettségi felkészítőink
Legújabb bejegyzéseink

2023. májusi emelt szintű matek érettségi feladatlap megoldása

2023. májusi emelt szintű fizika érettségi feladatlap megoldása

2023. májusi középszintű matek érettségi feladatlap megoldása

Novellaelemzés az érettségin – Irodalom érettségi

